Пожалуйста посчитайте! почему не все конечные десятичные дроби можно представить в виде конечных дробей в других системах счисления ​

Каждый знает, что дроби бывают обыкновенные и десятичные. Обыкновенная дробь представляет собой отношение целого числа к натуральному. Поэтому ее перевод в другую систему счисления трудности не представляет: надо отдельно перевести в новую систему счисления числитель и знаменатель, затем записать их отношение. Запись числа десятичной дробью — это распространение позиционного принципа вправо от разряда единиц. Вспомните: при переходе на один разряд влево «вклад» цифры увеличивается в  10  раз, а при переходе на один разряд вправо уменьшается в  10  раз. Так что запись  1,38054  обозначает число:  1⋅100+3⋅10−1+8⋅10−2+0⋅10−3+5⋅10−4+4⋅10−5 .

Легко понять, что и здесь вместо числа  10  можно использовать любое другое натуральное число  b , большее  1 . Скажем,  1,38054b=1⋅b0+3⋅b−1+8⋅b−2+0⋅b−3+5⋅b−4+4⋅b−5 .

По аналогии с десятичными дробями будем называть такую запись дробного числа b-ичной дробью. Так же как и для целых чисел, каждая цифра, используемая в записи b-ичной дроби, должна быть меньше  b . Как же переводить десятичную дробь в b-ичную? Для того что-бы найти алгоритм, запишем b-ичную дробь  c=0,a1a2...an  в виде суммы разрядных слагаемых:  c=a1⋅b−1+a2⋅b−2+...+an−1⋅bn−1+an⋅b−n .

Из этой записи видно, что целая часть числа  bc=a1,a2...an  дает первую цифру после запятой в указанном представлении числа  c . Выделив в  bc  дробную часть, поступим с ней точно так же   умножим на  b . Таким образом мы получим еще одну цифру —  a2 . И так далее. Вот пример перевода десятичной дроби  0,36  в пятеричную систему:

4.png

:  0,145 .

А теперь попытаемся перевести ту же дробь в семеричную систему счисления:

1.png

Обратите внимание: после четвертого умножения мы снова получили дробь  0,36 . Это значит, что дальше процесс будет повторяться и никогда не закончится! Тем самым после перевода числа  0,36  в семеричную систему счисления получается бесконечная периодическая дробь:  0,23432343...7= 0,(2343)7 . При переводе конечной b-ичной дроби в десятичную систему тоже может получиться бесконечная дробь. К примеру, запись  0,13  представляет одну треть и, следовательно, в десятичной системе будет выглядеть как бесконечная десятичная дробь  0,33333...=0,(3) .

Как вы знаете, бесконечные дроби нередко округляют, оставляя такое количество разрядов, которое обеспечивает необходимую точность.