1. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть суму та добуток його коренів: x² + 8x - 263 = 0

2. Складіть квадратне рівняння із цілими коефіціентами, корені якого дорівнюють: 2/5 і 3; 2-√11 і 2+√11

3. Відомо, що x₁ і x₂ корені рівняння x² - 13x + 5 = 0 Не розв'язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 1/x₁ + 1/x₂; x₁² + x₂²

4. Складіть квадратне рівняння, корені якого на 2 більші за відповідні корені рівниння x² + 3x - 8 = 0

5. При яких значеннях параметра a добуток коренів рівняння x² + (4 - a)x + a² + 4a = 0 дорівнює 5

1) Вирішуємо по теоремі Вієта:

x₁ + x₁ = - (b/a) сума коренів

x₁x₁ = c/a добуток коренів

x₁ + x₁ = 8

x₁x₁ = -263

Вирішуємо по теоремі Вієта:

x₁ + x₁ = 12/5

x₁x₁ = -(7/5)

2) Шукаємо квадратне рівняння у вигляді

x² + ax + b = 0

по теоремі Вієта:

x₁ + x₁ = 2/5 + 3 = 17/5

x₁x₁ = 2/5 * 3 = 6/5

x² + 17/5x + 6/5 = 0

x₁ + x₁ = 2 - √11 + 2 + √11 = 4

x₁x₁ = (2 - √11) * (2 + √11) = 4 + 2√11 - 2√11 - 11 = -7

x² + 4x - 7 = 0

3) 1/x₁ + 1/x₂

x₁ + x₂ = 13

x₁x₁ = 5

розділимо x₁ + x₂ / x₁x₁ = 13/5

x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂

x₁ + x₂ = 13

x₁*x₂ = 5

x₁² + x₂² = (13)² - 2*5 = 169 - 10 = 159

4) х₁+х₂ = -3

х₁х₂ = -8

(х₁ + 2) + (х₂ + 2) = х₁ + х₂ + 4 = -3 + 4 = 1

(х₁ + 2)(х₂ + 2) = х₁х₂ + 2х₁ + 2х₂ + 4 = х₁х₂ + 2(х₁ + х₂) + 4 = -8 - 6 + 4 = -10

х² - 1х - 10 = 0

5. х₁х₂ = 5

x² + (4 - a)x + a² + 4a

x² + 4x - ax + a² + 4a

x² + 4x - a(x - a - 4)

х₁х₂ = - a(x - a - 4)

a² + 4a = 5

a² + 4a - 5 = 0

a = 1