Найдите промежутки монотонности функции y=e^(1/x)+1.

Исследовать на экстремум функцию у=-x^3+6x^2; y=-x^3+6x^2+15x+1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^3-3x^2-9x-4 на промежутке [-4;4] [-4;4].

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции y=x^4-6x^3+12x^2-10.

1) Найдите промежутки монотонности функции y=e^(1/x)+1

Убывает: (-∞;0), (0;+∞)

2) Найдем первую производную функции.

−3x² + 12x

Найдем вторую производную функции.

f(x)=−6x+12

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к 0 и решим получившееся уравнение

−3x² + 12x = 0

−3x(x−4)=0

x=4

x=0,4

−6*0+12 = 12

−6*4+12 = -12

f(4)=−(4)³+6(4)²

y = 32

Это локальные экстремумы для f(x)=−x³ +6x²

(0,0) является локальным минимумом

(4,32) является локальным максимумом

3) Найдите критические точки

(3,−31),(−1,1)

Сравним значения f(x), найденные для каждого значения x, чтобы определить абсолютные максимум и минимум на данном интервале. Максимум достигается там, где значение f(x) наибольшее, а минимум - там, где значение f(x) наименьшее.

Абсолютный максимум: (−1,1)

Абсолютный минимум: (−4,−80)

4) Выпуклая вверх на (−∞,1), поскольку значение f(x) положительное

Выпуклая вниз на (1,2), поскольку значение f(x) отрицательное

Выпуклая вверх на (2,∞), поскольку значение f(x) положительное

Точки перегиба: (1,−3),(2,6)