1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB= BC и ∠ABD = ∠CBD.
2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.
3. На основании АС равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и К так, что ∠ABM = ∠CBK, точка M лежит между точками А и К. Докажите, что AM = CK.
4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO= DO.
5. Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите сторону AC, если AB = 7 см.

Помогите

1. Дано: ΔABD и ΔCBD, AB = BC и ∠ABD =∠CBD.

Доказать: ΔABD = ΔCBD.

Доказательство:

По условию задачи: AB = BC и ∠ABD =∠CBD

Мы видим, что DB - общая сторона.

отсюда следует ΔABD = ΔCBD (по двум сторонам и углу между ними. 1 признак)

2. Дано: ΔАВС - равнобедренный, AB = (АС - 6) см, P(ABC) = 30 см

Найти: AB; АС; BC.

Пусть АС = х см, тогда AB = BC = (x - 6) см

Периметр - сумма длин всех сторон.

Составим уравнение:

AB + BC + AC = 30

x + (x - 6) + (x - 6) = 30

3x = 42

x = 14

отсюда следует АС = 14 см; AB = BC = 14 см - 6 см = 8 см.

3. Дано: ΔABC - равнобедренный.

∠ABM =∠CBK.

Доказать: AM = CK.

Доказательство:

Рассмотрим ΔABM и ΔCBK.

AB = BC (ΔABC - равнобедренный)

∠ABM =∠CBK (по условию)

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

отсюда следует ∠А = ∠С

отсюда следует ΔABM = ΔCBK (по стороне и двум прилежащим углам. 2 признак).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

отсюда следует AM = CK.

4. Дано: AB = AD и BC = DC.

Доказать: BO = DO.

Доказательство:

Рассмотрим ΔABC и ΔACD.

AB = AD; BC = DC (по условию)

АС - общая.

⇒ ΔABC = ΔACD (по трем сторонам. 3 признак)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠1 = ∠2.

Рассмотрим ΔOBC и ΔDOC.

BC = DC (по условию)

∠1 = ∠2

ОС - общая.

отсюда следует ΔOBC = ΔDOC (по двум сторонам и углу между нами. 1 признак)

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

отсюда следует OB = OD

5. Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите сторону АС, если AB = 7 см.

В ДАBC: BM - медиана, AD - биссектриса. BM перпендикулярна AD.

Рассмотрим △MAB.

По условию AD - биссектриса, но в то же время, так как BM перпендикулярна AD, AD в △MAB является и высотой. Если в треугольнике медиана является высотой, то этот треугольник равнобедренный. Получается, что AM = AВ.

Но M - середина BC, так как BM - медиана, тогда AB = AM = МС. Следовательно АС = 2AB.

По условию AB= 7, тогда АС = 2 * 7 = 14 см