Билет №7
1) Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
2) Доказать свойство диагоналей параллелограмма.
3) Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP - диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°
4) В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
Билет №8
1) Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30°,45° 60°.
2) Доказать свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.
3) У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
4) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке 0. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60 , а расстояние от точки А до точки O равно 8.

1. Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов. Тупой угол — больший 90 градусов.

В прямоугольном треугольнике с одним прямым углом и двумя острыми углами, синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan) острого угла можно определить следующим образом:

Пусть треугольник имеет катеты a и b, и гипотенузу c. Пусть также острый угол имеет меру α. Тогда:

sin α = a/c

cos α = b/c

tan α = a/b

2. Свойство диагоналей параллелограмма утверждает, что диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке, которая лежит на середине каждой диагонали.

Доказательство этого свойства можно провести следующим образом:

Рассмотрим параллелограмм ABCD и его диагонали AC и BD. Проведем серединные перпендикуляры к этим диагоналям, которые будут пересекаться в точке O, являющейся центром окружности, описанной вокруг параллелограмма.

Так как AB || CD и AD || BC, то углы BAC и CDA соответственно равны углам ABC и CDB, так как они являются соответственными углами, образованными параллельными прямыми AB и CD. Также углы BAD и ADC равны углам ACD и CBD, так как они являются соответственными углами, образованными параллельными прямыми AD и BC.

Рассмотрим теперь треугольники ABO и CDO. Они являются равнобедренными, так как OA = OB и OC = OD, а также углы AOB и COD равны, так как они являются вертикальными углами. Следовательно, эти треугольники равны.

Таким образом, точка O является центром окружности, описанной вокруг параллелограмма. Также, поскольку диагонали параллелограмма разделяются пополам, то точка O лежит на середине каждой из диагоналей.

Таким образом, мы доказали, что диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке, которая лежит на середине каждой диагонали.

3. Дуга NP равна 180 гр. (ровно половина окружности). Вписанный угол MNP равен половине дуги, на которую он опирается, т.е. дуга MP равна 36°.. Дуга MN равна 144° Угол MON - центральный, а значит будет равен дуге MN, т.е. MON=144°

4. MN  — средняя линия треугольника ABC. Треугольники ABC и NMC подобны по двум углам.

Коэффициент подобия k = 2.

S(ABC) = k² * S(NMC)

S(NMC) = 4 * 57 = 228

S(ABMN) = S(ABC) - S(NMC) = 228 - 57 = 171

5. Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30°,45° 60°.

6. Свойства противоположных сторон и углов параллелограмма могут быть сформулированы следующим образом:

- Противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

- Противоположные углы параллелограмма равны по мере.

- Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Доказательство этих свойств:

1) Для доказательства равенства противоположных сторон параллелограмма можно использовать свойство параллельных линий, которое утверждает, что если две прямые параллельны, то расстояние между ними постоянно. В параллелограмме каждая сторона параллельна противоположной ей стороне, поэтому расстояние между параллельными сторонами постоянно. Следовательно, противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

2) Для доказательства равенства противоположных углов параллелограмма можно использовать свойство параллельных линий, которое утверждает, что если две прямые параллельны, то соответствующие им углы равны. В параллелограмме каждая сторона параллельна противоположной ей стороне, поэтому углы между соответствующими сторонами равны. Следовательно, противоположные углы параллелограмма равны по мере.

3) Для доказательства того, что диагонали параллелограмма делятся пополам, можно использовать свойства параллелограмма, а также свойства равнобедренной трапеции. В параллелограмме диагонали пересекаются в точке O и делятся пополам, то есть OA = OC и OB = OD. Кроме того, по свойству параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому AB = CD. Также по свойству равнобедренной трапеции углы AOB и COD равны, поэтому треугольники AOB и COD подобны. Отсюда следует, что AO/CO = BO/DO, то есть диагонали делятся пополам.

7. Предположим, что у нас есть треугольник со сторонами a и b, к которым проведены высоты ha и hb соответственно. Чтобы вычислить площадь треугольника, мы можем использовать формулу, которая утверждает, что площадь треугольника равна половине произведения длины одной из сторон на длину высоты, проведённой к этой стороне.

1/2ah(1) = 1/2bh(2)

h = (16 * 1) / 2 = 8

8. Проведем радиусы OB и OC из центра окружности до точек касания с прямыми AB и AC соответственно. В результате получим два прямоугольных треугольника, в которых катеты равны OB=OC=R, где R - радиус окружности, а гипотенуза AO обоих треугольников является общей. Следовательно, эти два треугольника равны. Таким образом, углы ∠BAO и ∠OAC равны между собой и равны 30 градусам (половина угла в 60 градусов).

Для того чтобы найти длину радиуса OB, мы можем использовать тригонометрический закон синусов для треугольника AOB, где угол AOB равен 60 градусам:

sin(60°) = OB / AO

Мы знаем, что AO равен радиусу окружности и равен 8

Решая уравнение относительно OB, получим:

OB = AO * sin(60°) = 8 * 1/2 = 4

Таким образом, длина радиуса OB равна 4