Три бригады возят на сортировку картофель. Первая бригада
сдала 35% картофеля, вторая – 45%, третья – 20%. Доля некондиционного
картофеля из первой бригады составляет 0,04, второй – 0,06, третьей –
0,03. Найти вероятность того, что взятый наудачу клубень окажется
кондиционным и убран первой бригадой.

Такая задача решается с использованием формул полной вероятности и Байеса.

Применение их связано с введением понятия системы гипотез для рассматриваемого события А, то есть такой полной группы событий, что появление события А происходит лишь при условии появления одного и только одного из этих событий.

Введем следующие гипотезы: B1, B2 и B3 – наугад взятый картофель первой бригады, второй и третьей.

Из условия задачи можно заключить, что

P(B1) = 0,35

P(B2) = 0,45

P(B3) = 0,2

Пусть А – событие, состоящее в том, что из выбранного наугад картофеля будет кондиция.

По формуле полной вероятности

P(A) = 0,35 * 0,96 + 0,45 * 0,94 + 0,2 * 0,97 = 0,953

Для переоценки вероятности гипотезы после того, как становится известным, что событие произошло, служат формулы Байеса:

P(A)B1 = (0,35 * 0,96)/0,953 = 0,352

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранный картофель из первой бригады хороший (не бракованный), нужно использовать условную вероятность. Мы знаем, что первая бригада дала 35 % картофеля, и 4 % из них бракованные. Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная картофелина из первой бригады окажется хорошей, равна:

P(первая бригада и хорошо) = P(первая бригада) * P(хорошо | первая бригада) = 0,35 * (1 - 0,04) = 0,336

Аналогично можно найти вероятность для второй и третьей бригад:

P(вторая бригада и хорошая) = 0,45 * (1 - 0,06) = 0,423

P(третья бригада и хорошая) = 0,2 * (1 - 0,03) = 0,194

Теперь мы можем найти вероятность того, что случайно выбранная картошка хороша:

P(хорошо) = P(первая бригада и хорошо) + P(вторая бригада и хорошо) + P(третья бригада и хорошо) = 0,336 + 0,423 + 0,194 = 0,953

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный картофель хороший и собран первой бригадой, равна:

P(первая бригада и хорошо) / P(хорошо) = 0,336/0,953 ≈ 0,352 или около 35,2%

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный картофель хороший и собран первой бригадой, составляет примерно 35,2%.