Билет 5.
1. Определение и свойство вертикальных углов (формулировка).
2. Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.
3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 50'^
меньше другого. Найти эти углы.
4. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного
равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы
треугольника, если угол ВМС = 140°.
Билет 6.
1. Определение треугольника. Стороны, вершины, углы треугольника.
Периметр треугольника.
2. Аксиома параллельных прямых. Доказать следствия из аксиомы
параллельных прямых.
3. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 76°. Найдите углы
треугольника.
4. Угол АОВ равен 138°. Через точки А и В проведены прямые, которые
параллельны сторонам данного угла и пересекаются в точке С. Найдите углы,
которые образовались при пересечении этих прямых.
Билет 7.
1. Определение равнобедренного треугольника. Равносторонний
треугольник. Сформулировать свойства равнобедренного треугольника.
2. Доказать свойства смежных и вертикальных углов.
3. Углы треугольника АВС относятся так: ZA : ZB : ZC=3:4:5. Найдите углы
этого треугольника.
4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°.
Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 7. Найдите длину
стороны АС.
Билет 8.
1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
2. Сформулировать признаки параллельных прямых. Доказать один по
выбору обучающегося.
3. Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите
величину угла ADO, если zBOD = 150°.
4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна
основанию треугольника. Найдите его углы.

Тут же целую книгу надо писать :)

Билет 5

1. Вертикальные углы - это углы, образованные при пересечении двух прямых и противоположно расположенные относительно общей вершины. Вертикальные углы равны между собой. Если α и β - вертикальные углы, то α = β.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Доказательство:

3. Пусть ABC - равнобедренный треугольник с равными сторонами AB и AC, основанием BC и биссектрисой AD. Так как AD - биссектриса угла BAC, то углы BAD и CAD равны. Поскольку треугольник равнобедренный, углы ABC и ACB также равны. Тогда треугольники ABD и ACD равны по двум углам и общей стороне AD, следовательно, BD = CD и AD является медианой. Также, поскольку углы BAD и CAD прямые (сумма углов равнобедренного треугольника в основании равна 180°), то AD является и высотой.

4. При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Вертикальные углы равны. Поскольку один из углов на 50° меньше другого, то сумма этих двух углов равна 180°. Обозначим меньший угол как α и больший угол как β. Тогда α + β = 180° и α = β - 50°. Подставим второе уравнение в первое: (β - 50°) + β = 180°. Решая уравнение, получим β = 115° и α = 65°.

5. В треугольнике ABC с равными сторонами AB и AC высоты проведены к сторонам AB и AC соответственно и пересекаются в точке M. Угол BMC = 140°. Поскольку BM и MC - высоты, то углы BMA и CMA прямые. Значит, угол AMC = 180° - 140° = 40°. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны: угол ABC = угол ACB = 40°. Угол BAC можно найти, вычитая сумму углов ABC и ACB из 180°: угол BAC = 180° - 40° - 40° = 100°. Таким образом, углы треугольника ABC равны 100°, 40° и 40°.

Билет 6.

1. Треугольник - это геометрическая фигура, образованная тремя прямыми, которые пересекаются в трех точках, называемых вершинами. Каждая из прямых является стороной треугольника, а углы, образованные этими сторонами, называются углами треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: P = a + b + c, где a, b и c - длины сторон треугольника.

2. Аксиома параллельных прямых: через точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следствия из аксиомы параллельных прямых:

Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.

Если две прямые параллельны, то их продолжения также параллельны.

Если две параллельные прямые пересекаются с третьей прямой, то соответствующие углы равны, и сумма внутренних углов на одной стороне равна 180°.

3. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 76°. Внешний угол равен сумме двух противолежащих внутренних углов. Поскольку треугольник равнобедренный, два его угла при основании равны между собой. Обозначим их за x. Тогда 76° = x + x, отсюда x = 38°. Теперь мы знаем два угла при основании равнобедренного треугольника, и можем найти третий угол, используя свойство треугольника, сумма углов которого равна 180°. Таким образом, третий угол равен 180° - 38° - 38° = 104°. Углы равнобедренного треугольника равны 104°, 38° и 38°.

Билет 7.

1. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. Равносторонний треугольник - это особый случай равнобедренного треугольника, у которого все три стороны равны. Свойства равнобедренного треугольника:

Углы при основании равны.

Высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Если равнобедренный треугольник имеет угол 90°, то его основание является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, а равные стороны являются катетами.

2. Свойства смежных и вертикальных углов:

Смежные углы - это углы, которые имеют общую вершину и общую сторону, но не имеют общих внутренних точек. Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы - это углы, образованные при пересечении двух прямых и противоположно расположенные относительно общей вершины. Вертикальные углы равны между собой.

Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 3:4:5. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, получаем уравнение: 3x + 4x + 5x = 180°. Отсюда x = 12°. Теперь можем найти углы: ∠A = 3x = 36°, ∠B = 4x = 48°, ∠C = 5x = 60°.

3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведенная из вершины A, равна 7. Поскольку высота опускается к середине основания AC, то треугольник ABH (где H - точка пересечения высоты и основания) является прямоугольным. Угол BAH равен (180° - 120°) / 2 = 30°. Теперь можем применить тригонометрические соотношения. В данном случае используем тангенс: tan(30°) = AH / 7. Найдем AH: AH = 7 * tan(30°) ≈ 4.04. Так как AH является половиной основания AC, удваиваем значение, чтобы найти длину стороны AC: AC = 2 * AH ≈ 8.08. Таким образом, длина стороны AC равна примерно 8.08.

Билет 8.

1. В треугольнике:

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса - это луч, исходящий из вершины треугольника и делящий противоположный угол пополам.

Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

2. Признаки параллельных прямых:

Если две прямые параллельны, то их продолжения также параллельны.

Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.

Если две параллельные прямые пересекаются с третьей прямой, то соответствующие углы равны, и сумма внутренних углов на одной стороне равна 180°.

Доказательство последнего признака: пусть прямые a и b параллельны и пересекаются с прямой c. Обозначим α и β соответствующие углы между прямыми a и c, а также γ и δ углы между прямыми b и c. Так как прямые a и b параллельны, по аксиоме параллельных прямых, α и γ - смежные углы, и их сумма равна 180°. Аналогично, β и δ - смежные углы, и их сумма также равна 180°. Отсюда следует, что α + β = γ + δ = 180°.

1. Диаметры AB и CD окружности пересекаются в точке O. Найдите величину угла ∠ADO, если ∠BOD = 150°. Так как OB и OD являются радиусами окружности, то углы ∠BOA и ∠DOC оба равны 90°. Теперь заметим, что ∠BOD и ∠AOC - вертикальные углы, поэтому ∠AOC = 150°. Таким образом, ∠ADO = 360° - ∠BOA - ∠AOC = 360° - 90° - 150° = 120°.

2. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Обозначим равные стороны равнобедренного треугольника за a, основание за b и угол между равными сторонами за α. Так как биссектриса делит угол α пополам, обозначим углы при основании равнобедренного треугольника за β и γ, причем β = γ = α/2. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой и равными сторонами, который является прямоугольным.

По теореме Пифагора в этом прямоугольном треугольнике, a^2 = (b/2)^2 + h^2, где h - высота треугольника. По условию задачи, биссектриса равна основанию треугольника, то есть h = b. Теперь у нас есть уравнение a^2 = (b/2)^2 + b^2. Упрощаем уравнение и находим отношение a/b: a/b = √5/2.

Теперь, используя закон косинусов, найдем угол α: cos(α) = (a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)) / (2ab). Подставляем отношение a/b и получаем cos(α) = 1/5. Таким образом, α ≈ 78.46°. Теперь можем найти углы β и γ: β = γ = α/2 ≈ 39.23°. Таким образом, углы равнобедренного треугольника равны примерно 78.46°, 39.23° и 39.23°.