Регистрация Вход
Геометрия 4-7 класс IITUTJGYD

Билет 9.
1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулировать свойство
внешнего угла треугольника.
2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей
накрест лежащие углы равны.
4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите
угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Билет 10.
1. Определение остроугольного, прямоугольного, тупоугольного
треугольника. Стороны прямоугольного треугольника.
2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а)
соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180*’.
4. В прямоугольным треугольнике биссектриса наименьшего угла образует с
меньшим катетом углы, один из которых на 20° больше другого. Найдите
острые углы данного треугольника.
Билет 11.
1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга
окружности.
2. Доказать свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
4. Два угла треугольника относятся как 4:7, а внешний угол третьего угла
равен 121°. Найдите углы треугольника.
Билет 12.
1. Определение параллельных прямых и параллельных отрезков.
Сформулировать аксиому параллельных прямых.
2. Доказать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника
(прямую или обратную). Следствия из теоремы.
4. Точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС - равные
хоры окружности, AD — ее диаметр. Докажите, что DA - биссектриса угла
BDC.
Билет 14.
1. Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников.
2. Доказать свойство внешнего утла треугольника.
4. Докажите, что биссектрисы внутренних односторонних углов при
параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Ответы:

Билет 9.

Внешний угол треугольника - это угол, образованный продолжением одной из сторон треугольника за вершину и смежным с ним внутренним углом. Свойство внешнего угла треугольника заключается в том, что внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим две параллельные прямые a и b, а также секущую прямую с, пересекающую их. Обозначим точки пересечения прямой с с прямыми a и b как A и B соответственно. Накрест лежащие углы будут углами α и β (угол α находится между прямыми a и c, а угол β - между прямыми b и c).

Поскольку прямые a и b параллельны, то согласно теореме о смежных углах, сумма углов α и угла между прямыми a и b равна 180°. Также сумма углов β и угла между прямыми a и b также равна 180°. Из этих равенств следует, что углы α и β равны.

Билет 10.

Остроугольный треугольник - это треугольник, все углы которого острые (меньше 90°). Прямоугольный треугольник - это треугольник, один из углов которого прямой (равен 90°). Тупоугольный треугольник - это треугольник, один из углов которого тупой (больше 90°). В прямоугольном треугольнике стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

а) При пересечении двух параллельных прямых секущей, соответствующие углы равны. Доказательство этого утверждения основывается на теореме о смежных углах. Если прямые параллельны, то сумма смежных углов равна 180°. Поскольку соответствующие углы являются вертикальными углами, они равны друг другу.

б) При пересечении двух параллельных прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°. Доказательство также основано на теореме о смежных углах. Поскольку прямые параллельны, то сумма смежных углов равна 180°. Односторонние углы являются смежными, так что их сумма также равна 180°.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, угол B - наименьший угол, а AC < BC. Биссектриса угла B пересекает противолежащую сторону AC в точке D. Углы между биссектрисой и катетом AC равны α и α+20°. Сумма углов между биссектрисой и катетами равна углу B, то есть α + (α + 20°) = B. Таким образом, 2α + 20° = B.

Поскольку угол B - наименьший угол в прямоугольном треугольнике, угол A больше угла B. Углы A и B являются острыми углами прямоугольного треугольника, и их сумма равна 90°. Таким образом, B < 45°

Билет 11.

Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от заданной точки (центра). Центр окружности - это фиксированная точка, от которой все точки на окружности равноудалены. Радиус - это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Диаметр - это хорда, проходящая через центр окружности, и он равен удвоенному радиусу. Дуга окружности - это часть окружности, образованная двумя точками и соединяющими их хордами.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой по длине. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и AC. Отметим середину основания BC точкой M. Теперь проведем медиану, высоту и биссектрису AD. Так как треугольник равнобедренный, AD является медианой, высотой и биссектрисой одновременно. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника ABD и ADC, которые равны по гипотенузе (AD) и катету (AB = AC). Таким образом, углы BAD и CAD равны, что и требовалось доказать.

Пусть углы треугольника равны A, B, и C, и A относится к B как 4:7. Тогда A = 4x и B = 7x для некоторого x. Внешний угол третьего угла равен 121°. Поскольку внешний угол равен сумме двух противолежащих внутренних углов, имеем 121° = A + B = 4x + 7x = 11x. Отсюда x = 11°. Теперь мы можем найти A и B: A = 44° и B = 77°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, угол C = 180° - A - B = 180° - 44° - 77° = 59°. Таким образом, углы треугольника равны 44°, 77°

Билет 12.

Параллельные прямые - это две прямые, которые не пересекаются в пределах бесконечности и всегда сохраняют одинаковое расстояние между собой. Параллельные отрезки - это два отрезка, принадлежащие параллельным прямым. Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида) гласит: если секущая прямая пересекает две другие прямые и внутренние углы с одной стороны секущей имеют сумму меньше 180°, то эти две прямые, продолженные на неограниченное расстояние, пересекутся с той же стороны секущей.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямая) утверждает, что в любом треугольнике большая сторона противолежит большему углу, и меньшая сторона противолежит меньшему углу. Доказательство: Пусть в треугольнике ABC сторона AC > сторона AB. Рассмотрим высоту BD, опущенную из вершины B на сторону AC. Так как BD перпендикулярна AC, то угол ABD прямой. Заметим, что треугольник ABD прямоугольный и имеет гипотенузу AD. Поскольку AC > AB, то AD > BD. Таким образом, угол A больше угла B в треугольнике ABC. Следствие из теоремы: если в треугольнике две стороны равны, то и противолежащие им углы равны (и наоборот).

В данной задаче точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС - равные хоры окружности, AD - диаметр окружности. Требуется доказать, что DA является биссектрисой угла BDC. Так как хоры AB и AC равны, то радиусы, проведенные к концам этих хорд, образуют равнобедренные треугольники: AOB и AOC. Значит, углы AOB и AOC равны. Так как AD является диаметром окружности, углы BAO и CAO прямые. Теперь рассмотрим треугольник BDC. Угол BDC состоит из двух углов: угла BDO и угла CDO. Так как углы BAO и CAO прямые и углы AOB и AOC равны, то углы BDO и CDO также равны. Вспомним, что AD - диаметр окружности, а значит, углы BAD и CAD являются прямыми углами. Таким образом, углы BDA и CDA образованы суммой углов BAD и BDO, а также CAD и CDO соответственно. Поскольку углы BAD и CAD равны, а углы BDO и CDO равны, то углы BDA и CDA также равны. Это означает, что отрезок DA является биссектрисой угла BDC, что и требовалось доказать.

Билет 14.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

a) Если катеты одного прямоугольного треугольника равны соответствующим катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны (по двум катетам).

b) Если катет и прилежащий к нему угол одного прямоугольного треугольника равны соответствующим катету и прилежащему к нему углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны (по катету и прилежащему углу).

c) Если гипотенуза и один из катетов одного прямоугольного треугольника равны соответствующим сторонам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны (по гипотенузе и катету).

Свойство внешнего угла треугольника утверждает, что внешний угол треугольника равен сумме двух противолежащих внутренних углов. Доказательство: Пусть в треугольнике ABC углы A, B и C - внутренние углы, а D - точка на стороне BC таким образом, что угол ACD - внешний угол треугольника, противолежащий углу A. Таким образом, углы A и ACD - смежные. Также углы B и C лежат на одной прямой с углом ACD. Таким образом, угол ACD = угол A + угол B.

Пусть имеются параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Рассмотрим внутренние односторонние углы α и β, образованные пересечением секущей c с прямыми a и b соответственно. Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке D. Требуется доказать, что угол между биссектрисами прямой.

Из свойства параллельных прямых и секущей следует, что α + β = 180°. Пусть углы между биссектрисами и прямыми a и b равны α1 и β1 соответственно.

Так как D лежит на биссектрисах углов α и β, то углы α1 и α2, а также углы β1 и β2 равны (где α1 и α2 - половины угла α, β1 и β2 - половины угла β). Из свойства параллельных прямых и секущей, углы α и β смежны, а следовательно α1 + α2 + β1 + β2 = 180°.

Теперь рассмотрим углы между биссектрисами. Если эти углы обозначить как x и y, то у нас есть два уравнения: α1 + x + β1 = 180° и α2 + y + β2 = 180°. Отсюда следует, что x + y = α2 + β2.

Вспоминая, что α1 + α2 + β1 + β2 = 180°, мы можем записать x + y = (180° - α1 - β1) и заметить, что α1 + β1 = 180° - x - y. Теперь подставим это выражение в уравнение для α1 + x + β1: (180° - x - y) + x + β1 = 180°. Отсюда β1 = y.

Таким образом, углы между биссектрисами и прямыми a и b равны друг другу. Значит, биссектрисы образуют прямой угол, то есть они перпендикулярны. Это и требовалось доказать.

1
Отв. дан sdfgsdfgsdg
Для написания вопросов и ответов необходимо зарегистрироваться на сайте