Докажите, что боковые ребра правильной
пирамиды SMPQ, где S(√3; 3; 7), M(3√3; 3; 1), P(0; 6; 1), Q(0; 0; 1) и
основание MPQ, образуют с плоскостью основания углы,
равные 60°.
Решать надо через уравнение плоскости.

Определение уравнения плоскости основания пирамиды:

Основание пирамиды задано точками M(3√3, 3, 1), P(0, 6, 1) и Q(0, 0, 1). Найдем векторы MP и PQ:

MP = P - M = (-3√3, 3, 0)

PQ = Q - P = (0, -6, 0)

Теперь найдем нормаль к плоскости основания, вычислив векторное произведение векторов MP и PQ:

n = MP × PQ = (0, 0, -18√3)

Рассчитаем косинусы углов между боковыми ребрами и плоскостью основания:

Для этого найдем векторы, соединяющие вершину пирамиды S(√3, 3, 7) с вершинами основания M, P и Q:

SM = M - S = (2√3, 0, -6)

SP = P - S = (-√3, 3, -6)

SQ = Q - S = (-√3, -3, -6)

Теперь для каждого из векторов SM, SP и SQ вычислим косинусы углов между этими векторами и нормалью к плоскости основания n:

cos(α) = (n ⋅ v) / (||n|| ||v||)

где α - угол между вектором и плоскостью основания, n - нормаль к плоскости основания, v - вектор, соединяющий вершину пирамиды с вершинами основания, а ||n|| и ||v|| - длины векторов n и v соответственно.

||n|| = √(0² + 0² + (-18√3)²) = 18√3

||SM|| = √((2√3)² + 0² + (-6)²) = √(12 + 36) = √48

cos(α_SM) = (n ⋅ SM) / (||n|| ||SM||) = (0, 0, -18√3) ⋅ (2√3, 0, -6) / (18√3 * √48) = (36√3) / (18√3 * √48) = 36 / (18 * √48) = 1 / 2

||SP|| = √((-√3)² + 3² + (-6)²) = √(3 + 9 + 36) = √48

cos(α_SP) = (n ⋅ SP) / (||n|| ||SP||) = (0, 0, -18√3) ⋅ (-√3, 3, -6) / (18√3 * √48) = (36√3) / (18√3 * √48) = 36 / (18 * √48) = 1 / 2

||SQ|| = √((-√3)² + (-3)² + (-6)²) = √(3 + 9 + 36) = √48

cos(α_SQ) = (n ⋅ SQ) / (||n|| ||SQ||) = (0, 0, -18√3) ⋅ (-√3, -3, -6) / (18√3 * √48) = (36√3) / (18√3 * √48) = 36 / (18 * √48) = 1 / 2

Все косинусы углов α_SM, α_SP и α_SQ равны 1/2, что соответствует углам 60°. Это означает, что боковые ребра пирамиды SMPQ образуют с плоскостью основания углы, равные 60°.