Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,97 можно было ожидать, что не менее 170 опытов дадут положительный результат?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение описывает число успешных испытаний в последовательности из n независимых испытаний, когда вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна p.

Вероятность того, что X (число успешных испытаний) будет больше или равно 170, равна 0,97:

P(X >= 170) = 0,97

Для решения этой проблемы мы можем использовать неравенство Чебышёва. Поскольку мы знаем вероятность успеха (0,9), а вероятность P(X >= 170) должна быть равна 0,97, мы можем использовать это неравенство для решения задачи. Неравенство Чебышёва утверждает, что:

P(|X - µ| >= k * σ) <= 1 / k²

где µ = n * p, σ² = n * p * (1 - p), k = (µ - 170) / σ и X - число успешных испытаний.

Сначала найдем k:

1 / k² <= 1 - 0,97

k² >= 1 / 0,03

k >= √(33,333)

Теперь подставим значения для µ и σ:

µ = n * 0,9

σ² = n * 0,9 * 0,1

Теперь используем значение k:

(µ - 170) / σ >= √(33,333)

(0,9 * n - 170) / √(0,9 * 0,1 * n) >= √(33,333)

Возведем это неравенство в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(0,9 * n - 170)² >= 33,333 * 0,9 * 0,1 * n

0,81 * n² - 306 * n + 28900 >= 29,9999 * n

Теперь решаем квадратное неравенство:

0,81 * n² - 306 * n + 28900 - 29,9999 * n > 0

0,81 * n² - 336 * n + 28900 > 0

Для решения этого неравенства можно использовать дискриминант или численные методы. В результате численного решения получим примерное значение n:

n > 232,23

Нужно провести хотя бы 233 опыта, чтобы с вероятностью 0,97 ожидать не менее 170 успешных результатов.