Решите уравнение: log₂x - 2 = √(2log₂x - 1)

Обозначим y = log⁡₂x

Тогда уравнение примет вид:

y − 2 = √(y − 1)

Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(y − 2)² = y − 1

Раскроем скобки слева:

y² − 4y + 4 = y − 1

Переносим все члены в одну сторону:

y² − 4y + 4 − y + 1 = 0

y² − 5y + 5 = 0

Решаем квадратное уравнение по формуле:

y = (− (−5) ± (−5)² − 4⋅1⋅5) / (2⋅1)

​​y = 5 ± √(25 − 20)

​​y = (5 ± √5)/2

​​Теперь найдём два значения y:

y₁ = (5 +√5)/2

y₂ = (5 −√5)/2

Поскольку y = log⁡₂x, для того, чтобы xx было определено, y должен быть неотрицательным, но y₂​ оказывается отрицательным.

Поэтому нас интересует только положительное решение y₁​.

Тогда x = 2^y₁​, где y₁ = (5 + √5)/2