На ювелирную фабрику поступил для обработки (огранки) драгоценный камень весом 15 карат. Уже при первичной обработке камень раскололся на три части, две из которых (меньшие по весу) оказались равны. В результате этого суммарная стоимость стала на 34% меньше стоимости целого камня. Какой вес имеет большая часть расколовшегося камня, если стоимость драгоценных камней пропорциональна квадрату их веса? Ответ дайте в каратах.

Обозначим вес большей части камня через xx карат, а вес каждой из меньших частей через yy карат. Согласно условию:

Вес всего камня равен 15 карат:

x+2y=15

Стоимость камней пропорциональна квадрату их веса. Следовательно, стоимость целого камня пропорциональна 15²=225, а суммарная стоимость частей камня пропорциональна:

x²+2y²

После раскола стоимость стала на 34% меньше, то есть 66% от первоначальной стоимости. Поэтому:

x²+2y²=0.66×222

x²+2y²=148.5

Теперь у нас есть система уравнений:

x+2y=15

x²+2y²=148.5

Решим её.

Из первого уравнения выразим xx через yy:

x=15−2y

Подставим это выражение во второе уравнение:

(15−2y)²+2y²=148.5

Раскроем скобки:

(225−60y+4y²)+2y²=148.5

225−60y+6y²=148.5

Переносим все члены в одну сторону:

6y²−60y+225−148.5=0

6y²−60y+76.5=0

Упростим, разделив на 6:

y²−10y+12.75=0

Решим квадратное уравнение по формуле:

y=(−(−10)±√((−10)2−4⋅1⋅12.75)))/(2⋅1)

y=(10±√(100−51))/22

y=(10±√49)/22

y=(10±7)/22

Получаем два решения:

y1=(10+7)/2=8.5

y2=(10−7)/2=1.5

Теперь находим x.

Если y=1.5, то:

x=15−2⋅1.5=15−3=12

Таким образом, вес большей части камня равен 12 карат.