Х0=1, ∆Х=0,04

Дано:

Функция прибыли: f(x)=ln⁡(x+1)

Точка: x0=1

Приращение: Δx=0.04

Производная f′(x) в точке x0 численно может быть определена как:

f′(x0​)≈(f(x0​+Δx)−f(x0​)​)/Δx

Подставим данные:

f′(1)≈(ln((1+0.04)+1)−ln(1+1)​)/0.04

Рассчитаем численно:

f(x0​+Δx)=ln(1.04+1)=ln(2.04)

f(x0​)=ln(2)

Разность: ln⁡(2.04)−ln⁡(2)

Делим на Δx=0.04

Точное значение производной

Аналитически производная функции f(x)=ln⁡(x+1) равна:

f′(x)=1/(x+1​)

В точке x0=1:

f′(1)=1/(1+1)​=1/2​=0.5

Погрешность численного метода

Погрешность вычисления можно оценить с помощью формулы Тейлора, учитывая старший порядок остаточного члена:

Ошибка=(Δx/2)​⋅∣f′′(c)∣

где c∈(x0,x0+Δx), а f′′(x) — вторая производная:

f′′(x)=−1/((x+1)²)

Найдем максимальную ошибку в диапазоне x∈[1,1.04]

Аналитическая производная f′(1)=1/2=0.5

Численное приближение производной: f′(1)≈17.824−25⋅ln⁡(2)≈0.5

Оценка погрешности: Максимальная погрешность численного метода составляет ≈0.005

2) Сравнение с точным значением:

Численное значение производной: f′(1)≈0.4951

Точное значение производной: f′(1)=0.5

Абсолютная погрешность: ∣0.5−0.4951∣≈0.0049

Относительная погрешность: 0.0049/0.5≈0.00987 (или 0.987%0.987%).

3) Знак производной:

Точное значение производной f′(1)=0.5 — положительное.

Это говорит о том, что в точке x0=1 прибыль возрастает. Следовательно, выбранный технологический параметр x0 является удачным с точки зрения увеличения прибыли.

Если бы производная равнялась 0:

При f′(x)=0 точка могла бы быть максимумом, минимумом или точкой перегиба. Для определения характера точки требуется вторая производная f′′(x):

f′′(x)=−1/((x+1)²)

В точке x0=1: f′′(1) = −1/4 < 0, что указывает на локальный максимум функции прибыли.

Поскольку производная положительная в точке x0=1, прибыль возрастает. Это подтверждает, что выбранный параметр технологического процесса способствует увеличению прибыли.