Правильный вариант пропущенных окончаний имён прилагательных: жить в чуж... городе, начать больш...дело, беседовать с лучш... подругой, добиться хорош... результата.

Жить в чужом городе. Проверяется вопросом прилагательного - "в каком" - следовательно, окончание "ом" или "ем".
Начать (какое) большое дело.
Беседовать с (какой) лучшей подругой.
Добиться (какого) лучшего результата.